Analytische Lösung

Wir haben also das Problem $\ddot{u}=-Cu$ mit Anfangsbedingungen $u(0)=u_0$ und $\dot{u}(0)=v_0$ zu lösen. Dieses Problem ist bekanntlich elementar lösbar und die Lösung ist eine harmonische Schwingung

$$u(s)=A\sin(\omega s + \varphi)$$ (1.14)

mit Amplitude $A$, Phase $\varphi$ und Frequenz $\omega$ definiert durch

$$\omega^2=C .$$ (1.15)

Für $v_0\neq0$ lautet die allgemeine Lösung dann

$$\begin{eqnarray}\varphi & = &\mbox{\rm arctan} \left(\frac{\displaystyle u_0\ome... ...t] A & = & \frac{\displaystyle u_0}{\displaystyle \sin(\varphi)} \end{eqnarray}$$

Im vorliegenden Fall mit $v_0=0$ folgt dagegen

$$u(s)=u_0\sin(\omega s+\pi/2)=u_0\cos(\omega s)$$ (1.16)

Setzt man die Werte für $k,m$ und $\tau$ für das vorliegende Problem ein, so hat $C$ den Wert $C=9$, und $\omega=3$. Mit $u_0=1$ ergibt sich die Lösung des Problems als

$$u(s)=\cos(3 s).$$ (1.17)