Mathematische Umformulierung, Entdimensionalisierung

Die mathematische Formulierung der Gesetze der Mechanik in ()-() führt uns durch Einsetzen auf die Bewegungsgleichung für den harmonischen Oszillator

$$m\frac{\mbox{\rm d}^2x}{\mbox{\rm d}t^2}=-kx .$$ (1.7)

(mit $-\infty<x,t<\infty$ und $m,k>0$ und) mit den Anfangsbedingungen

Für die Arbeit mit dem Computer ist es lästig und unnötig ständig die physikalischen Einheiten (Kilogramm, Meter, Sekunde...) mitzuführen. Der Computer verarbeitet ohnehin nur reine Zahlen.

Ein wichtiger Schritt der mathematischen Formulierung ist deshalb die ``Entdimensionalisierung'' des Problems, d.h. die Überführung in eine Formulierung ohne physikalische Maßeinheiten. Dies hat in der Regel den zusätzlichen Vorteil, daß  in der dimensionslosen Formulierung weniger Parameter vorkommen.

Um das Problem dimensionslos zu formulieren führen wir mittels der Gleichungen

die dimensionslose unbekannte Auslenkung $u$ und die dimensionslose Zeit $s$ ein. Dabei sind

die gewählten physikalischen Einheiten. Die Einheiten sollten so gewählt sein, daß  die Werte für $x$ und $t$ im Bereich der auf dem Computer darstellbaren Zeiten liegen. Es ist deshalb günstig hier nicht Lichtjahre oder Femtosekunden zu wählen sondern ``problemangepasste'' Einheiten.

Mit den Definitionen () folgt aus () sofort die dimensionslose Form der Bewegungsgleichungen

$$\ddot{u}=\frac{\mbox{\rm d}^2u}{\mbox{\rm d}s^2}=-Cu$$ (1.11)

mit dimensionslosen Anfangsbedingungen

und der dimensionslosen Konstanten

$$C= \frac{k\tau^2}{m}.$$ (1.13)

Während im ursprünglichen Problem zwei Parameter ($m$ und $k$) vorkamen enthält das dimensionslose Problem nur noch eine Konstante $C$.