Numerische Probleme

Neben der Tatsache, daß eine Berechnung mit höherer Genauigkeit auch mehr Aufwand (Funktionsberechnungen) erfordert, hat die numerische Berechnung von Ableitungen das prinzipielle Problem der sog. Stellenauslöschung: Bei endlicher Darstellungsgenauigkeit (doubles haben etwa 16, floats nur 7 Stellen Genauigkeit) erhält man bei Differenzenbildung einen Verlust an Genauigkeit, wenn Zahlen in der gleichen Größenordnung voneinander subtrahiert werden. Zum Beispiel verliert man in der folgenden Rechnung

$$\frac{0.264345-0.259123}{0.129001-0.121112} \approx 0.66193$$ (4.11)

2 Stellen Genauigkeit, wenn man nur mit 3 Stellen in der Mantisse arbeitet:

$$\frac{0.264-0.259}{0.129-0.121}=\frac{0.005}{0.008} = 0.625.$$ (4.12)