Variablen Substitution

Mit den bisherigen Integrationsformeln lassen sich auch viele Problemfälle behandeln, wenn man vorab geschickt umformt.
Beispiel: Man berechne

$$I= \int^b_1 x^{-2} g(x) dx$$ (4.21)

mit $g(x) \approx const.$ für $x \rightarrow \infty$. Die Anwendung der Simpsonregel bei fester Intervallbreite führt nur zu sehr langsamer Konvergenz für große $b$, substituiert man jedoch $z=\frac{1}{x}$ so erhält man mit $dx= -\frac{1}{z^2}dz$

$$I=-\int_1^{\frac{1}{b}}z^2 g(z) \frac{1}{z^2} dz = \int^1_{\frac{1}{b}}g(z) dz$$ (4.22)

was sich problemlos für große $b$ integrieren lässt.

Ähnlich verfährt man bei integrierbaren Singularitäten.
Beispiel: Man berechne

$$I =\int_0^1 \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}} dx$$ (4.23)

Falls $g(x)$ bei $x=1$ regulär ist, dann hat das Integral bei $x=1$ eine integrierbare Singularität. Aber $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{g(x)}{\sqrt{1-x^2}}=\infty$ und deshalb lassen sich die einfachen Integrationsregeln nicht anwenden $(f(x=1)=\infty)$.

Die Substitution $z=(1-x)^{\frac{1}{2}}$ ergibt

$$I=-2\int_1^0 \frac{g(1-z^2)}{\sqrt{1-(1-z^2)^2}} z dz = 2\int_1^0 \frac{g(1-z^2)}{\sqrt{z-z^2}} dz$$ (4.24)

Dies lässt sich dann ohne Probleme integrieren.