Die Simpsonregel

Nun sei ein gewichteter Funktionsmittelwert gegeben als:

$$\hat{f}_i= \frac{1}{6} \left[f(x_i)+ 4 f \left (\frac{x_i+x_{i-1}}{2} \right ) + f(x_{i-1}) \right] ,$$ (4.18)

bzw. die Kurve wird durch eine Parabel angenähert. Diese ist in Abb. als gepunktete Linie zu sehen.

Abbildung: Schematische Darstellung eines Intervalls, dessen Fläche nach der Simpsonregel durch eine Parabel approximiert wird.

Weiterhin kann man zur Vereinfachung konstante Intervallbreiten $h=x_i-x_{i-1}$ annehmen. Das Integral $I_{ab}$ berechnet sich somit zu:

$$I_{ab} = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^N (x_i-x_{i-1}) \left[ f(x_i)+ 4f( \bar x_i )+f(x_{i-1})\right] = h \sum_{i=1}^N \hat{f}_i .$$ (4.19)

Unter Benutzung der zweiten Ableitung aus Glg. ():

$$f''(\bar x_i) = \frac{f(x_i)-2f(\bar x_i)+f(x_{i-1})}{(h/2)^2} = \frac{24}{h^2} \left ( \hat f_i - f(\bar x_i) \right )$$ (4.20)

und der Taylorentwicklung von $f(x)$ aus Glg. (), ergibt sich für den Fehler: $$\begin{eqnarray*}\Delta I_{ab} & = & \sum_{i=1}^N \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) d... ... _{\Delta I_{x_{i-1} x_i}} \right ] + h \sum_{i=1}^N \hat{f}_i \end{eqnarray*}$$ Daraus folgt der Fehler $\Delta_{ab}={h(b-a) (h/2)^4}f''''(\bar x_i)/120$, d.h. die Ordnung des Fehlers des Simpson-Verfahrens ist 5.