Vorbemerkungen

In den einfachen Integrationsregeln wird die Funktion $f(x)$ auf dem Teilintervall $[x_{i-1} , x_{i}]$ verschieden approximiert, und zwar bei der Mittelpunktsregel durch eine Konstante $\sim x^0$, bei der Trapezregel linear $\sim x^1$, und bei der Simpsonregel quadratisch $\sim x^2$.

Das Integrationsintervall $[x_0 , x_n]$ wird in äquidistante Stützstellen unterteilt, (Intervallbreite $h$).

$$x_i=x_0+ih , i= 0,1,2\dots, N+1$$ (4.25)

Die Funktionswerte $f(x_i)$ werden abgekürzt als

$$f_i = f(x_i)$$ (4.26)

Dann lautet die Trapezregel

$$\int^{x_2}_{x_1} f(x) dx = h\left(\frac{1}{2}f_1+\frac{1}{2}f_2\right)+{\cal O}(h^3)$$ (4.27)

oder durch Zusammensetzen von $N-1$ Intervallen

$$\int^{x_N}_{x_1} dx = h(\frac{1}{2}f_1+f_2+ \dots +f_\mu+\frac{1}{2})+ {\cal O}(\frac{(x_N-x_1)^3}{N^2})$$ (4.28)

oder die Simpson-Regel

$$\int^{x_2}_{x_1} f(x) dx = h\left(\frac{1}{3}f_1 +\frac{4}{3}f_2+\frac{1}{3}f_3\right)+{\cal O}(h^5)$$ (4.29)

oder für die Zusammensetzung von $N-1$ Intervallen

$$\int^{x_2}_{x_1} f(x) dx = h\left(\frac{1}{3}f_1 +\frac{4}{3}f_2... ...}{3}f_{N-2}+ \frac{4}{3}f_{N-1}+\frac{1}{3}f_N\right)+ +{\cal O}(\frac{1}{N^4})$$ (4.30)

Die allgemeine Struktur ist also stets von der Art

$$\int^{x_2}_{x_1} f(x) dx = \sum_{i=1}^{L} w_i f_i$$ (4.31)

mit $w_i$ (z.B. $w_1=\frac{h}{3}, w_2 =\frac{h}{3}$ für die Simpsonregel) Wir wollen diese zwei Regeln für $L=2$ und $L=3$ noch einmal herleiten, um dann zu verallgemeinern.