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In den einfachen Integrationsregeln wird die Funktion
auf dem
Teilintervall
verschieden approximiert, und
zwar bei der Mittelpunktsregel durch eine Konstante
,
bei der Trapezregel linear
, und bei der
Simpsonregel quadratisch
.
Das Integrationsintervall
wird in äquidistante
Stützstellen unterteilt, (Intervallbreite
).
![$\displaystyle x_i=x_0+ih , i= 0,1,2\dots, N+1$](img307.gif) |
(4.25) |
Die Funktionswerte
werden abgekürzt als
![$\displaystyle f_i = f(x_i)$](img309.gif) |
(4.26) |
Dann lautet die Trapezregel
![$\displaystyle \int^{x_2}_{x_1} f(x) dx = h\left(\frac{1}{2}f_1+\frac{1}{2}f_2\right)+{\cal O}(h^3)$](img310.gif) |
(4.27) |
oder durch Zusammensetzen von
Intervallen
![$\displaystyle \int^{x_N}_{x_1} dx = h(\frac{1}{2}f_1+f_2+ \dots +f_\mu+\frac{1}{2})+ {\cal O}(\frac{(x_N-x_1)^3}{N^2})$](img312.gif) |
(4.28) |
oder die Simpson-Regel
![$\displaystyle \int^{x_2}_{x_1} f(x) dx = h\left(\frac{1}{3}f_1 +\frac{4}{3}f_2+\frac{1}{3}f_3\right)+{\cal O}(h^5)$](img313.gif) |
(4.29) |
oder für die Zusammensetzung von
Intervallen
![$\displaystyle \int^{x_2}_{x_1} f(x) dx = h\left(\frac{1}{3}f_1 +\frac{4}{3}f_2...
...}{3}f_{N-2}+ \frac{4}{3}f_{N-1}+\frac{1}{3}f_N\right)+ +{\cal O}(\frac{1}{N^4})$](img314.gif) |
(4.30) |
Die allgemeine Struktur ist also stets von der Art
![$\displaystyle \int^{x_2}_{x_1} f(x) dx = \sum_{i=1}^{L} w_i f_i$](img315.gif) |
(4.31) |
mit
(z.B.
für die
Simpsonregel)
Wir wollen diese zwei Regeln für
und
noch einmal
herleiten, um dann zu verallgemeinern.
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© R.Hilfer et al., ICA-1, Univ. Stuttgart
28.6.2002