Lineare Näherung : L=2

Für $L=2$ steht in ()

$$\int^{x_2}_{x_1} f(x) dx = w_1 f_1 + w_2 f_2 .$$ (4.32)

Wir fordern, dass diese Formel für $f(x)=x^0$ und $f(x)=x^1$ exakt ist.

Also muss gelten:

$$\begin{eqnarray}\int^{x_2}_{x_1} 1 dx= x_2 -x_1 = w_1 + w_2 \\ \int^{x_2}_{x_1} x dx=\frac{1}{2}(x_2^2-x_1^2)=w_1x_1+w_2x_2 \end{eqnarray}$$

Die Lösung des Gleichungssystems führt auf $$\begin{eqnarray*}&w_2 = x_2-x_1-w_1\\ &\frac{1}{2}(x_2-x_1)(x_2+x_1) = w_1x_1+x... ... &w_2 = (x_2-x_1)-\frac{1}{2}(x_2 - x_1)=\frac{1}{2}(x_2 - x_1) &\end{eqnarray*}$$ und somit $w_1 = w_2 = \frac{h}{2}$