Euler-Verfahren

Die generelle Methode besteht nun darin, das Intervall $[0,x]$ in $n$ Stützpunkte

$$x_i=ihx$$ (5.37)

mit

$$h=\frac{1}{n}$$ (5.38)

aufzuteilen, an welchen $u(x)$ bestimmt werden soll. Definiere

$$u_i=u(x_i)=u(ihx)$$ (5.39)

für $i=0,1,\dots, n$.

Dann ist das Ziel, eine Form für $u_{n+1}=u(x+h)$ zu finden, welche von den $u_i$ mit $i \leq n$ abhängt und so $u(x+h) = u_{n+1}$ rekursiv aus den links davon liegenden Punkten zu bestimmen. Die zu lösende Gleichung ist Gl. ()

$$\frac{du}{dx}=f(x,u(x))$$

Beim Euler-Verfahren ersetzt man den Differentialquotienten durch den Differenzquotienten.

$$\frac{du}{dx}= \frac{u(x+h)-u(x)}{h}+{\cal O}(h)$$ (5.40)

und erhält die Rekursion

$$u_{n+1}=u_n+hf(x_n,u_n)+{\cal O}(h^2)$$ (5.41)

Dies ist die Euler-Methode. Sie wird in der Praxis kaum benutzt, da sie zu ungenau ist.