Potenzreihenentwicklung

Entwickle $u_{n+1}$ in einer Potenzreihe

$$\begin{eqnarray}u_{n+1}= u(x_{n+1})= u(x_n+h)= u(x+h)= u_n+hu_n(x_n)+\frac{h^2}{2!} u_n''(x_n)+{\cal O}(h^3) \end{eqnarray}$$

Nun ist wegen ()

$$u_n'(x_n)=f(x_n,u_n)$$ (5.42)

und

$$u_n''(x_n)=\left.\frac{df}{dx}\right\vert _{x=x_n}= \frac{\partia... ...tial f}{\partial x}(x_n,u_n)+ \frac{\partial f}{\partial u}(x_n,u_n)f(x_n,u_n).$$ (5.43)

Also erhält man

$$u_{n+1}= u_n+hf(x_n, u_n)+ \frac{h^2}{2}\left(\frac{\partial f}{\... ..._n,u_n)+f(x_n,u_n) \frac{\partial f}{\partial u}(x_n,u_n))\right)+{\cal O}(h^3)$$ (5.44)

Nachteil dieser Methode und der folgenden ist, dass man die Ableitung von $f$ ausrechnen können und dann benutzen können muss. Auch muss $f$ differenzierbar sein.