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Allgemeine Form der Beispiele

Die Trommelfellgleichung und das ebene Pendel hatten die Form

$\displaystyle \frac{d^2v}{dx^2}=g(x,v(x),\frac{dv}{dx})$

(5.33)

mit Anfangsbedingungen

$\begin{eqnarray}v(0)=v_1\\ v'(0)=v_2 . \end{eqnarray}$

Dabei lauten die Entsprechungen

Trommelfell:

$v \longleftrightarrow x$ Auslenkung

$x \longleftrightarrow t$ Zeit

$g(z_1,z_2,z_3)=\frac{f(z_1)}{m}-\omega_0^2 z_2 -\beta z_2^2 - Bz_3$

Pendel:

$v \longleftrightarrow \phi$ Auslenkungswinkel

$x \longleftrightarrow t$ Zeit

$g(z_1,z_2,z_3)=-\frac{g}{l}\sin z_2$

Definiert man nun die Größen

$\begin{eqnarray}u_1=v\\ u_2=\frac{dv}{dx} \end{eqnarray}$

so geht (

) über in das Gleichungssystem von Differentialgleichungen 1. Ordnung.

$\begin{eqnarray}\frac{du_1}{dx}&=&u_2\\ \frac{du_2}{dx}&=&g(x,u_1,u_2) \end{eqnarray}$

mit Anfangsbedingungen

in Vektorschreibweise mit

$\begin{eqnarray}{\mathbf u}=\left({{u_1} \atop {u_2}}\right)\\ {\mathbf c}=\lef... ...}\right)\\ {\mathbf f}=\left({{u_1} \atop {g(x,u_1,u_2)}}\right) \end{eqnarray}$

wird daraus

$\displaystyle \frac{d{\mathbf u}}{dx}={\mathbf f}(x,{\mathbf u}(x))$

(5.34)

mit Anfangsbedingung ${\mathbf u}(0)={\mathbf c}$ .

Analog läßt sich eine Gleichung -ter Ordnung

$\displaystyle \frac{d^nv}{dx^n}= g(x,\frac{dv}{dx},\frac{d^2v}{dx^2}\dots \frac{d^{n-1}v}{dx^{n-1}})$

(5.35)

in ein System von Gleichungen 1. Ordnung

$\displaystyle \frac{d{\mathbf u}}{dx}={\mathbf f}(x,{\mathbf u}(x))$

umwandeln. Deshalb wird im Folgenden nur noch eine Gleichung 1. Ordnung betrachtet. Im einfachsten Fall ist also die Gleichung

$\displaystyle \frac{du}{dx}=f(x,u(x))$

(5.36)

zu lösen.

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$v \longleftrightarrow x$	Auslenkung
$x \longleftrightarrow t$	Zeit

$v \longleftrightarrow \phi$	Auslenkungswinkel
$x \longleftrightarrow t$	Zeit