Allgemeine Form der Beispiele

Die Trommelfellgleichung und das ebene Pendel hatten die Form

$$\frac{d^2v}{dx^2}=g(x,v(x),\frac{dv}{dx})$$ (5.33)

mit Anfangsbedingungen

$$\begin{eqnarray}v(0)=v_1\\ v'(0)=v_2 . \end{eqnarray}$$

Dabei lauten die Entsprechungen

Trommelfell:

$v \longleftrightarrow x$	Auslenkung
$x \longleftrightarrow t$	Zeit

$g(z_1,z_2,z_3)=\frac{f(z_1)}{m}-\omega_0^2 z_2 -\beta z_2^2 - Bz_3$

Pendel:

$v \longleftrightarrow \phi$	Auslenkungswinkel
$x \longleftrightarrow t$	Zeit

$g(z_1,z_2,z_3)=-\frac{g}{l}\sin z_2$

Definiert man nun die Größen

$$\begin{eqnarray}u_1=v\\ u_2=\frac{dv}{dx} \end{eqnarray}$$

so geht () über in das Gleichungssystem von Differentialgleichungen 1. Ordnung.

$$\begin{eqnarray}\frac{du_1}{dx}&=&u_2\\ \frac{du_2}{dx}&=&g(x,u_1,u_2) \end{eqnarray}$$

mit Anfangsbedingungen $u_1(0)=v_1,u_2(0)=v_2$
in Vektorschreibweise mit

$$\begin{eqnarray}{\mathbf u}=\left({{u_1} \atop {u_2}}\right)\\ {\mathbf c}=\lef... ...}\right)\\ {\mathbf f}=\left({{u_1} \atop {g(x,u_1,u_2)}}\right) \end{eqnarray}$$

wird daraus

$$\frac{d{\mathbf u}}{dx}={\mathbf f}(x,{\mathbf u}(x))$$ (5.34)

mit Anfangsbedingung ${\mathbf u}(0)={\mathbf c}$.

Analog läßt sich eine Gleichung $n$-ter Ordnung

$$\frac{d^nv}{dx^n}= g(x,\frac{dv}{dx},\frac{d^2v}{dx^2}\dots \frac{d^{n-1}v}{dx^{n-1}})$$ (5.35)

in ein System von Gleichungen 1. Ordnung

$$\frac{d{\mathbf u}}{dx}={\mathbf f}(x,{\mathbf u}(x))$$

umwandeln. Deshalb wird im Folgenden nur noch eine Gleichung 1. Ordnung betrachtet. Im einfachsten Fall ist also die Gleichung

$$\frac{du}{dx}=f(x,u(x))$$ (5.36)

zu lösen.