Erde und Jupiter

Abbildung: System Erde-Jupiter

Kommt zu den Körpern Sonne und Erde noch ein dritter (beispielsweise der Jupiter) hinzu, so ist dieses Problem nicht mehr analytisch lösbar. Die Keplerschen Gesetze zur Planetenbewegung gelten nicht mehr. Allgemein ist das beim $N$-Körperproblem ($N>2$) so. Numerisch läßt sich dieses Problem immer noch lösen. Wir benötigen als erstes das Gravitationsgesetz für Erde-Jupiter:

$$f_{EJ}=-\frac{Gm_Em_J}{r_{EJ}^2} r_{EJ}=\sqrt{(x_E-x_J)^2+ (y_E-y_J)^2}$$ (5.72)

Wieder stellen wir für die Erdbewegung (und auch für die Jupiterbewegung) eine komponentenweise Gleichung auf, die analog für $y$ gilt.

$$\begin{eqnarray}\ddot{x}_E=-\frac{4\pi ^2x_E}{r_E^3}-\frac{Gm_J(x_E-x_J)}{r_{EJ}... ...dot{x}_J=-\frac{4\pi ^2x_J}{r_E^3}-\frac{Gm_E(x_J-x_E)}{r_{EJ}^3} \end{eqnarray}$$

Der rechte Ausdruck ist der Einfluß vom dritten Körper, also jeweils des Jupiters, bzw. der Erde. Für die Rechnung benötigen wir jetzt auch die Massen der einzelnen Körper. $$\begin{eqnarray*}m_E=6*10^{24} {\rm kg} \\ m_S=2*10^{30} {\rm kg} \\ m_J=2*10^{27} {\rm kg} * M_J \end{eqnarray*}$$

Den Faktor $M_J$ benutzen wir später in der Simulation um auszuprobieren, wie sich unser System verhalten würde, wenn die Masse des Jupiters geändert würde. Der Radius der Jupiterbahn ist $r_J=5.2$AE und seine Bahngeschwindigkeit ist $v=2.76$AE/a. Man kann nun die Konstanten

$$\begin{eqnarray}Gm_E=12*\pi ^2*10^{-6} \\ Gm_J=4*\pi ^2*10^{-3} * M_J \end{eqnarray}$$

berechnen. Als numerisches Verfahren verwenden wir wieder die Verlet-Methode. Die Gleichungen

$$\begin{eqnarray}x_E(t+\Delta t)=-x_E(t-\Delta t)+2x_E(t)-                       ... ...)} {r_J^3(t)}+\frac{3*10^{-6}(x_J(t)-x_E(t))}{r_{EJ}^3(t)}\right) \end{eqnarray}$$

gelten für die $x$-Komponente, die $y$-Komponente ist analog dazu.

   double p0x, p1x, p2x, dp1x, t; 
   double p0y, p1y, p2y, dp1y, r3e; 
   double q0x, q1x, q2x, dq1x, r3j; 
   double q0y, q1y, q2y, dq1y, r3ej; 
   double alpha, massj, t_max, dt;
// ...              
// loop from t=0 to t=t_max
   t=0.0;
   ofstream outfile("orbit.dat");
   for( int i=0; i<t_max/dt; i++ ) {
        r3e=1./pow(p1x*p1x+p1y*p1y,beta);
        r3j=1./pow(q1x*q1x+q1y*q1y,beta);
        r3ej=1./pow((p1x-q1x)*(p1x-q1x)+(p1y-q1y)*(p1y-q1y),beta);
// Verlet sums
        p2x=2.*p1x-p0x-pi24*dt2*
              (r3e*p1x+r3ej*1.e-3*massj*(p1x-q1x));  // Earth
        p2y=2.*p1y-p0y-pi24*dt2*
              (r3e*p1y+r3ej*1.e-3*massj*(p1y-q1y));
        q2x=2.*q1x-q0x-pi24*dt2*
              (r3j*q1x-r3ej*3.e-6*(p1x-q1x));        // Jupiter
        q2y=2.*q1y-q0y-pi24*dt2*
              (r3j*q1y-r3ej*3.e-6*(p1y-q1y));

        outfile << t << ' ' << p1x << ' ' << p1y << 
                        ' ' << q1x << ' ' << q1y << '\n';
        t=t+dt;
        p0x=p1x;                         // change new->old
        p0y=p1y;
        p1x=p2x;
        p1y=p2y;
        q0x=q1x;                         // change new->old
        q0y=q1y;
        q1x=q2x;
        q1y=q2y;
   }

Modifizieren Sie die Parameter, um zu sehen, daß sehr haeufig chaotische Trajektorien entstehen. Ebenso ist das allgemeine $N$-Körper-Problem chaotisch!