Das Drei-Körper-Problem

Bei einer Masse des Jupiter von $M_j=1000$ ist allerdings zu bedenken, das die Annahme einer unbeweglichen Sonne falsch wird. Simuliert man das wirkliche 3-Körper-Problem, mit beweglicher Sonne, so umkreisen Sonne und Jupiter den gemeinsamen Schwerpunkt und die Erde wird nach kurzer Zeit aus dem System geschleudert. In Abb. ist die Simulation für verschiedene Zeitschritte dargestellt. Eigentlich entspricht diese Simulation einem Doppelsternsystem mit zwei großen Sonnen und einem Planeten. Schon bei einem Zeitschritt von $\Delta t \le 0.01$ ist die Lösung beinahe nicht mehr von der Lösung für $\Delta t \le 0.001$ zu unterscheiden. Als Kontrolle kann man die Energie im Planetensystem berechnen. Die kinetische Energie im $N$-Körper-System ist

$$E_k = \sum_{i=1}^N \frac{1}{2} m_i v_i^2 ,$$ (5.73)

und die potentielle Energie errechnet sich aus allen paarweisen Wechselwirkungen zu

$$E_p = \sum_{i=1}^N \sum_{j=i+1}^N 4 \pi^2 m_i m_j \frac{1}{r_{ij}} ,$$ (5.74)

wobei wie oben alle Längen in AE, alle Geschwindigkeiten in $v_0$, alle Zeiten in Jahren, und alle Massen in Sonnenmassen $m_S$ gemessen werden. In Abb. erkennt man, daß die Energieerhaltung nur für große Zeitschritte verletzt wird.

Die gleiche Methode, bei der jeder Körper mit jedem anderen wechselwirkt, verwendet man auch bei Simulation von Molekülen (Molekulardynamik), siehe Kapitel .