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Die Aufgabe besteht darin ein bestimmtes Integral
numerisch zu berechnen.
Im Folgenden sei der Integrationsbereich von
bis
in
Intervalle mit Randpunkten
(
, ...,
),
und Breite
unterteilt.
Weiterhin bedeutet die Schreibweise
eine
Funktionsauswertung am Punkt
, in der
Mitte des Intervalls zwischen
und
,
sofern die analytische Form von
bekannt ist. Diese Situation
ist in Abb.
zu sehen.
Abbildung:
Schematische Darstellung eines Intervalls, dessen
Fläche nach der Mittelpunktsregel durch den Funktionswert
im Zentrum des Intervalls approximiert wird.
|
Damit ist
im Fall gleichgroßer Intervalle:
![$\displaystyle I_{ab}=h \sum_{i=1}^N \bar{f_i} ,$](img271.gif) |
(4.13) |
mit
,
oder bei allgemeinen Intervall-Längen:
![$\displaystyle I_{ab}= \sum_{i=1}^N (x_i-x_{i-1}) f \left ( \frac{x_i+x_{i-1}}{2} \right ) = \sum_{i=1}^N h_i \bar{f_i} .$](img273.gif) |
(4.14) |
Der Fehler einer Integration ist somit die Differenz zwischen der exakten
und der genäherten Lösung:
![$\displaystyle \Delta I_{ab}=\int_a^b f(x) dx-h \sum_{i=1}^N f(\bar x_i) ,$](img274.gif) |
(4.15) |
wie sich durch Taylorentwicklung von
in kleinem Abstand
um
:
zeigen läßt. Setzt man Glg. (
) in Glg. (
) ein
und integriert, jeweils für ein Intervall, von
bis
über
, so
sieht man, daß der erste Summand der Taylorreihe mit der Summe in Gleichung
(
) identisch ist.
Der zweite Summand verschwindet, da bei symmetrischer Integration eine zu
symmetrische Funktion (hier: alle
mit ungerader Potenz) verschwindet.
Damit errechnet sich der Fehler aus Glg. (
) zu:
![$\displaystyle \Delta I_{ab} = \frac{1}{2} f''(\bar x_i) \int_{-h/2}^{h/2} \delta^2 d\delta = \frac{h^3}{24} f''(\bar x_i) ,$](img280.gif) |
(4.16) |
d.h. der Fehler der Mittelpunktsregel ist von 3. Ordnung in
.
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© R.Hilfer et al., ICA-1, Univ. Stuttgart
28.6.2002