Die Mittelpunktsregel

Die Aufgabe besteht darin ein bestimmtes Integral

$$I_{ab}=\int_a^b f(x) dx$$

numerisch zu berechnen. Im Folgenden sei der Integrationsbereich von $a$ bis $b$ in $N$ Intervalle mit Randpunkten $x_i = a + i h$ ($i=0$, ..., $N$), und Breite $h_i = x_i - x_{i-1}$ unterteilt. Weiterhin bedeutet die Schreibweise $\bar{f_i}=f(\bar{x}_i)$ eine Funktionsauswertung am Punkt $\bar x_i = (x_i + x_{i-1})/2$, in der Mitte des Intervalls zwischen $x_{i-1}$ und $x_i$, sofern die analytische Form von $f$ bekannt ist. Diese Situation ist in Abb. zu sehen.

Abbildung: Schematische Darstellung eines Intervalls, dessen Fläche nach der Mittelpunktsregel durch den Funktionswert im Zentrum des Intervalls approximiert wird.

Damit ist $I_{ab}$ im Fall gleichgroßer Intervalle:

$$I_{ab}=h \sum_{i=1}^N \bar{f_i} ,$$ (4.13)

mit $h = h_i = (b-a)/N$, oder bei allgemeinen Intervall-Längen:

$$I_{ab}= \sum_{i=1}^N (x_i-x_{i-1}) f \left ( \frac{x_i+x_{i-1}}{2} \right ) = \sum_{i=1}^N h_i \bar{f_i} .$$ (4.14)

Der Fehler einer Integration ist somit die Differenz zwischen der exakten und der genäherten Lösung:

$$\Delta I_{ab}=\int_a^b f(x) dx-h \sum_{i=1}^N f(\bar x_i) ,$$ (4.15)

wie sich durch Taylorentwicklung von $f(x)$ in kleinem Abstand $\delta$ um $\bar x_i$:

$$\begin{eqnarray}f(x)& = &f(\bar x_i)+ \delta f'(\bar x_i) + \frac{1}{2} \delta^2 f''(\bar x_i) + ... \end{eqnarray}$$

zeigen läßt. Setzt man Glg. () in Glg. () ein und integriert, jeweils für ein Intervall, von $-h/2$ bis $h/2$ über $\delta$, so sieht man, daß der erste Summand der Taylorreihe mit der Summe in Gleichung () identisch ist. Der zweite Summand verschwindet, da bei symmetrischer Integration eine zu $\bar x_i$ symmetrische Funktion (hier: alle $\delta$ mit ungerader Potenz) verschwindet. Damit errechnet sich der Fehler aus Glg. () zu:

$$\Delta I_{ab} = \frac{1}{2} f''(\bar x_i) \int_{-h/2}^{h/2} \delta^2 d\delta = \frac{h^3}{24} f''(\bar x_i) ,$$ (4.16)

d.h. der Fehler der Mittelpunktsregel ist von 3. Ordnung in $h$.