Quadratische Näherung

Für $L=3$ steht in ()

$$\int_{x_1}^{x_3} f(x) dx = w_1 + w_2 + w_3$$ (4.33)

Jetzt fordert man, dass () für $f(x)=1, f(x)=x$, und $f(x)=x^2$ exakt ist.

$$\int_{x_1}^{x_3} 1 dx = x_3 - x_1 = w_1 +w_2 + w_3$$ (4.34)

$$\int_{x_1}^{x_3} x dx = \frac{1}{2}(x_3^2 -x_1^2) = w_1 x_1 + w_2 x_2 + w_3 x_3$$ (4.35)

$$\int_{x_1}^{x_3} x^2 dx = \frac{1}{3}(x_3^3 -x_1^3) = w_1 x_1^2 + w_2 x_2^2 + w_3 x_3^2$$ (4.36)

Lösung des Gleichungssystems: Multipliziere () mit $x_3$ bzw. $x_3^2$,und subtrahiere dieses von () und (). Das gibt: $$\begin{eqnarray*}\frac{1}{2}(x_3^2 -x_1^2)- x_3 (x_3 - x_1)&=w_1(x_1-x_3)+w_2(x_... ...-x_1^3)- x_3^2 (x_3 - x_1)&= w_1(x_1^2-x_3^2)+w_2(x_2^2-x_3^2) \end{eqnarray*}$$
Nun multipliziere die erste Gleichung mit mit $x_1 + x_3$

$$\frac{1}{2}(x_3^2 -x_1^2) (x_1 + x_3) - x_3 (x_3^2 - x_1^2) = w_1(x_1^2-x_3^2)+w_2(x_2-x_3)(x_1 + x_3)$$

Subtraktion ergibt
$$\begin{eqnarray*}&\frac{1}{3}(x_3^3 - x_1^3) - x_3^2(x_3-x_1)- \frac{1}{2}(x_1-x... ...x_2^2-x_3^2)-w_2(x_2-x_3)(x_1+x_3)\\ =&w_2(x_2-x_3)(x_2-x_1) . \end{eqnarray*}$$
Ausrechnen liefert

$$\frac{1}{6}(x_3-x_1)^3 = w_2(x_3-x_2)(x_2-x_1)$$ (4.37)

oder

$$\begin{eqnarray}\frac{1}{6}(2h)^3 = w_2 h^2\nonumber\\ \Rightarrow w_2=\frac{4}{3}h \end{eqnarray}$$

Weiter findet man

$$w_1 = w_3 = \frac{h}{3}$$ (4.38)

also insgesamt die Simpsonregel. Mit zunehmendem $L$ steigt die Zahl der zu wählenden Gewichte $w_1$ und die Genauigkeit.