Beliebige Stützstellen

Die Idee der Gauß-Quadratur besteht nun darin, nicht nur die Gewichte $w_i$ optimal zu wählen, sondern auch die Stützstellen optimal so zu wählen, dass Polynome exakt integriert werden. Genauer gesagt werden sie so gewählt, dass Polynome und eine Gewichtsfunktion $w(x)$ exakt integriert werden. Dies macht die Gauß-Quadratur immer dann zur optimalen Methode, wenn der Integrand modulo Gewichtsfunktion ,,sehr schön glatt'' ist. Sehr schön glatt bedeutet dabei, dass er gut durch ein Polynom approximierbar ist. Die Gewichtsfunktion kann dazu dienen, integrierbare Singularitäten aus dem Integral zu entfernen.

Sei also eine Gewichtsfunktion $w(x) \geq 0$ und eine ganze Zahl $L$ gegeben. Dann besteht die Aufgabe darin, Gewichte $w_i$ und Stützstellen $x_i$ zu finden, so dass die Näherung

$$\int_a^b f(x) w(x) dx \approx \sum_{i=1}^L w_i f(x_i)$$ (4.39)

immer dann exakt ist, wenn $f(x)$ ein Polynom ist.

Bemerkung: Wenn $-\infty \le a,b\le \infty$ ist, reicht es aus das Intervall $[-1 , 1]$ zu betrachten, denn die Substitution $x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}y$, $y=\frac{2}{b-a}(x-\frac{a+b}{2})$

$$\int_a^b f(x) dx = \frac{b-a}{2}\int_{-1}^1 f(\frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2})dy$$ (4.40)

zeigt

$$\int_a^b f(x) dx = \int_{-1}^1 g(x) dy$$ (4.41)

mit

$$g(x):=\frac{b-a}{2} f(\frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2})$$ (4.42)

Einfachstes Beispiel:
$$\begin{eqnarray*}w(x)=1\\ L=2 \end{eqnarray*}$$
Dann ist

$$\int_{-1}^1 f(y) dy = w_1 f(x_1)+w_2f(x_2)$$ (4.43)

Hier sind $w_1, w_2$ und $x_1, x_2$ unbekannt und sollen bestimmt werden. Dazu wählen wir $f(x)=x^0,x^1,x^2,x^3$. Das gibt 4 Gleichungen

$$\begin{eqnarray}\int_{-1}^1 1 dx =& 2 &= w_1+w_2\\ \int_{-1}^1 x dx =& 0 &= w_1... ...w_1x_1^2+w_2x_2^2\\ \int_{-1}^1 x^3 dx =& 0 &= w_1x_1^3+w_2x_2^3 \end{eqnarray}$$

Einsetzen der zweiten Gleichung $w_2=-w_1\frac{x_1}{x_2}$ in die letzte ergibt:

$$w_1 x_1^3 - x_2^3 w_1 \frac{x_1}{x_2}=0 \Rightarrow x_1^2=x_2^2$$ (4.44)

Also folgt

$$x_1=-x_2$$ (4.45)

da $x_1 \neq x_2$ gelten soll. Also folgt weiter
$$\begin{eqnarray*}&2=w_1+w_2\\ &0=w_1-w_2 \Rightarrow w_1=w_2 \Rightarrow 2w_1=2... ...rac{1}{3} \Rightarrow x_1^2 = \frac{1}{3}\\ &0=(w_1-w_2)x_1^3 \end{eqnarray*}$$
und dann

$$\begin{eqnarray}&w_1 &= w_2=1\\ &x_1 &= -\frac{1}{\sqrt{3}}\\ &x_2 &= \frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray}$$

Mann kann nun Tabellen der $w_i$ und $x_i$ finden und damit die Gaussche Quadratur anwenden.

$L=1$	$x_1=-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$w_1=1$
	$x_2 \frac{1}{\sqrt{3}}$	$w_2=1$
$L=3$	$x_1=-\sqrt{\frac{3}{5}}$	$w_1=\frac{5}{9}$
	$x_2=0$	$w_1=\frac{8}{9}$
	$x_3=\sqrt{\frac{3}{5}}$	$w_1=\frac{5}{9}$
$L=4$	$x_1=-x_4=0,861136...$	$w_1=w_4=0,347854...$
	$x_2=-x_3=0,339981...$	$w_2+w_3=0,652145...$

Solche Tabellen lassen sich rezeptartig verwenden.