Mehrschrittverfahren(Adams-Bashforth)

Eine allgemeine Methode die Genauigkeit zu erhöhen besteht darin, dass man $u_{n+1}$ nicht nur aus $u_n$ berechnet, sondern aus mehreren Werten $u_n,u_{n-1},u_{n-2},\dots$ aus der Vergangenheit. Ausgangspunkt ist wieder die exakte Gleichung ()

$$u_{n+1}=u_n+\int_{x_n}^{x_{n+1}}f(x,u) dx$$ (5.53)

Da $f(x,u)$ im Intervall $[x_n , x_{n+1}]$ nicht bekannt ist extrapoliert man linear vom Intervall $[x_{n-1}, x_{n}]$ und schreibt:

$$f(x)\approx \frac{x-x_{n-1}}{h}f(x_n,u_n)-\frac{x-x_n}{h}f(x_{n-1},u_{n-1}) +{\cal O}(h^2)$$ (5.54)

setzt man dies in () ein und integriert so erhält man das Zweischrittverfahren von Adams-Bashforth

$$u_{n+1}=u_n+ h\left(\frac{3}{2}f(x_n,u_n)-\frac{1}{2}f(x_{n-1},u_{n-1})\right) +{\cal O}(h^3)$$ (5.55)

Verfahren höherer Ordnung erhält man, indem man mit Polynomen höherer Ordnung aus dem früheren Intervallen extrapoliert. Eine 4-Schrittmethode nach Adams -Bashforth lautet

$$u_{n+1}=u_n+\frac{h}{24}(55f_n-59f_{n-1}+37f_{n-2}-9f_{n-3})+{\cal O}(h'')$$ (5.56)

wobei $f_i = f(x_i,u_i)$ ist.