Implizite Verfahren

Alle bisher diskutierten Verfahren waren explizit. Das bedeutet, $u_{n+1}$ hängt nur von $u_n$ oder $u_i$ mit $i \leq n$ ab. Also formal

$$u_{n+1}=F(u_n,u_{n-1},\dots, u_0) .$$ (5.57)

Bei impliziten Verfahren tritt dagegen auf der rechten Seite $u_{n+1}$ auf

$$u_{n+1}=F(u_{n+1},u_n,\dots ,u_0),$$ (5.58)

so dass eine nichtlineare Gleichung gelöst werden muss (z.B. durch Iteration).

Wir betrachten wieder die Gleichung

$$\frac{du}{dx}=f(x,u(x))$$ (5.59)

an der Stelle $x_{n+\frac{1}{2}}=(n+\frac{1}{2})h$ zwischen zwei Stützpunkten. Also

$$\left.\frac{du}{dx}\right\vert _{x=x_{n+\frac{1}{2}}}= f(x_{n+\frac{1}{2}},u_{n+\frac{1}{2}})$$ (5.60)

Wir setzen jetzt für $\left.\frac{du}{dx}\right\vert _{x=x_{n+\frac{1}{2}}}$ die symmetrische Differenz

$$\left.\frac{du}{dx}\right\vert _{x=x_{n+\frac{1}{2}}} \approx \frac{u_{n+1}-u_n}{h}+{\cal O}(h^2)$$ (5.61)

und für $f(x_{n+\frac{1}{2}},u_{n+\frac{1}{2}})=f_{u+\frac{1}{2}}$ setzen wir näherugsweise

$$f_{u+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(f_n+f_{n+1})+{\cal O}(h^2)$$ (5.62)

den Mittelwert. Dann folgt

$$\frac{u_{n+1}-u_n}{h}+{\cal O}(h^2)=\frac{1}{2}(f_n+f_{n+1})+{\cal O}(h^2)$$ (5.63)

oder

$$u_{n+1}=u_n+\frac{h}{2}[f(x_n,u_n)+f(x_{n+1},u_{n+1})]+{\cal O}(h^3)$$ (5.64)

Dies ist alles sehr schön, aber die Lösung dieser impliziten Gleichung ist numerisch aufwendig. Deshalb werden diese Methoden in der Praxis wenig verwendet, wenn man von Prädiktor-Konektor-Methoden (s.u.) absieht.

Ausserdem ist manchmal $f(x,u)$ linear in $u$, d.h. $f(x,u)=g(x)u$. Dann wäre () lösbar.