Prädiktor-Korrektor-Verfahren

Die Idee dieser Verfahren besteht darin, mit einem expliziten Verfahren einen Prädiktor $u^*_{n+1}$ für $u_{n+1}$ zu schätzen, und dann diesen Schätzwert auf der rechten Seite eines implizierten Mehrschrittverfahrens zu benutzen, um den korrigierten Wert (Korrektor) $u_{n+1}$ zu berechnen, der dann in den nächsten Schritt eingeht. Ein Beispiel ist das implizite Adams-Moulton-Verfahren mit der Formel

$$u_{n+1}=u_n+\frac{h}{24}(9f_{n+1}+19f_n - 5f_{n-1}+f_{n-2})+{\cal O}(h^2)$$ (5.65)

wobei wieder $f_i = f(x_i,u_i)$ bedeutet. Dies ist ein implizites Dreischrittverfahren (weil die drei Werte $u_{n-2},u_{n-1},u_n$den Wert $u_{n+1}$bestimmen.)

Kombiniert mit dem Adams-Bashforth-Verfahren ergibt sich die Prädiktor-Korektor-Methode

$$\begin{eqnarray}u^*_{n+1}&=&u_n+\frac{h}{24}\left(55 f(x_n,u_n)-59f(x_{n-1},u_{n... ...+1})+ 19f(x_{n}u_{n})-5f(x_{n-1}u_{n-1})+f(x_{n-2}u_{n-2})\right) \end{eqnarray}$$

Dieses Vorgehen (beachte $u^*_{n+1}$ in ()) heißt auch Adams-Bashforth-Moulton-Methode.Es ist ${\cal O}(h^5)$ hat aber den Vorteil, dass man mit Hilfe der Differenz $(u_{n+1}-u_{n+1})$ ständig die Fehler der Integration beobachten kann.