Betrachte
d.h. die ganze reelle Achse.
Zunächst berechnen wir aus
, dass die Gleichung
eine
wichtige Rolle spielt. Wir verwenden wegen
die Substitution:
![]() |
(3.15) |
![]() |
(3.16) |
![]() |
(3.17) |
mit einer Konstanten .
Aus Addition und Subtraktion von (
) und
(
) gilt
Also folgt
Im Spezialfall folgt dann
![]() |
(3.22) |
d.h die Auslenkung zerfällt in zwei identische Pulse, die sich in entgegengesetzte Richtung ausbreiten.
Wir betrachten nun den Einfluß der Randbedingungen, d.h.
Natürlich sind dann die Anfangsbedingungen auch nur für
von Interesse. Gleichung (
) zeigt, dass dann
für
definiert sein muss und
für
.
Man erhält dann
oder mit bzw.
Setzt man aus der ersten Gleichung in die zweite ein so folgt
![]() |
(3.25) |
![]() |
(3.26) |
Die allgemeine Lösung des Rand- und Anfangswertproblems ist also gegeben
durch () wenn man die Anfangsbedingungen
und
als ungerade
Funktionen periodisch auf ganz
fortsetzt.
Eine ungerade periodische Funktion mit Periode 2 L ist auch ungerade
bezüglich der Punkte
Das bedeutet z.B. für die gezupfte Saite eine Situation wie sie
in Abbildung dargestellt ist.
Hier können Sie mit der Überlagerung selbst gezeichneter Wellenzüge experimentieren.
Diese Situation legt eine direkte Modellierung der schwingenden Saite durch sich überlagernde Wellenzuüge nahe.