Numerischer Algorithmus

Um die Lösung $u(s)$ unseres Problems in () numerisch zu berechnen führen wir die Hilfsgröße

$$v=\dot{u}=\frac{\mbox{\rm d}u}{\mbox{\rm d}s}$$ (1.20)

ein und schreiben () als System von zwei Gleichungen

Natürlich ist $v$ die dimensionslose Geschwindigkeit. Nun erinnern wir uns an die Definition der 1. Ableitung

$$\frac{\mbox{\rm d}u}{\mbox{\rm d}s}=\lim_{\Delta s\to 0}\frac{u(s+\Delta s)-u(s)}{\Delta s}.$$ (1.22)

Ebenso wie in der unendlichen Reihe für die Kosinusfunktion taucht hier eine Grenzwertbildung auf. Computer können nur endlich viele Zahlen darstellen und deshalb müssen Grenzwerte immer approximiert werden. Wir ersetzen deshalb die Ableitung durch den Näherungsausdruck

$$\frac{\mbox{\rm d}u}{\mbox{\rm d}s}\approx\frac{u(s+\Delta s)-u(s)}{\Delta s}.$$ (1.23)

Die rechte Seite approximiert die linke immer besser im Limes $\Delta s\to 0$. Dieselbe Approximation verwenden wir für $\dot v(s)$. Wir erhalten dann das gekoppelte Gleichungssystem

Nun erkennen wir einen numerischen Algorithmus zur Lösung, denn dies ist eine Rekursionsbeziehung. Mit Hilfe von $v(s)$ können wir $u(s+\Delta s)$ aus der Kenntnis von $u(s)$ berechnen. Da wir auch $v(s+\Delta s)$ aus $v(s)$ und $u(s)$ berechnen können läßt sich das Vorgehen iterieren, um $u(s+2\Delta s)$ zu berechnen, und dann $u(s+3\Delta s)$ und so weiter. Allerdings hat dieser Algorithmus einen Nachteil, er ist instabil. Eine kleine Änderung behebt diesen Defekt. Wir berechnen zunächst die Hilfsgröße $v(s+\Delta s)$ zur Zeit $s+\Delta s$ und verwenden dann diesen Wert zur Berechnung der Auslenkung $u(s+\Delta s)$. Damit wird aus () der Algorithmus

den wir nachfolgend als Computerprogramm implementieren wollen.